高中课程标准实验教科书必修《数学5》（苏教版）教学问答

高中课程标准实验教科书必修《数学5》（苏教版）教学问答

南京外国语学校 陈光立

答：以往的解三角形内容，比较关注三角形边角关系的恒等变换，往往把侧重点放在运算上．《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《标准》)将解三角形作为几何度量问题来处理，突出几何的作用，为学生理解数学中的量化思想、进一步学习数学奠定基础．解三角形处理的是三角形中长度、角度、面积的度量问题，长度、面积是理解积分的基础，角度是刻画方向的，长度、方向是向量的特征，有了长度、方向，向量的工具自然就有用武之地．从这一角度看，解三角形的内容为学生运用向量工具解决三角形的度量问题留有余地，进而对运用向量解决几何度量问题奠定了基础．

基于上述认识，教科书在安排正弦定理和余弦定理的公式推导时，都用到了向量的方法．本章在得到正弦定理的猜想后，提出了关于正弦定理证明的四条途径，意在引导学生尝试探究，经历证明的过程，领悟数形结合、分类讨论、转化化归等数学思想，有利于发展学生的思维能力．教学中，拟结合学生具体情况点拨启发，灵活安排．

关于向量方法探索正弦定理的教学，可从三角形中最基本的向量关系式=+入手，提出“如何将这个向量关系式转化为数量关系式”的问题让学生讨论．学生容易由“数量积是实施向量等式向数量等式转化的有力工具”想到用“点乘”的方法，至于“点乘”哪个向量，可以充分让学生尝试探究．例如，在等式两边同时“点乘”，可得a=ccosB+bcosC，这就是射影定理（见习题1.2第7题）；若等式两边同时平方，即两边各自“与自己点乘”，可得a²=b²+c²-2bccosA，这就是余弦定理；如果要想得到两条边与它们所对角之间的关系，就要让第三条边“消失”，那就只能在向量关系式的两边同时“点乘”与垂直的向量，于是可以得到∙+∙＝0，进而再分类讨论推得正弦定理．这样，用向量方法证明正弦定理的“瓶颈”就不难解决了．

答：利用正弦定理可以解决两类解斜三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．

由于x∈(0，180°)时，sinx=m(0＜m＜1)有两解，以及三角形中“大边对大角”的关系，所以第二类问题会出现无解、一解或两解的情况．教学中，可让学生从“已知a，b，A，画三角形”入手，通过画图的过程来寻找a，b，bsinA三者的大小与所画出三角形的个数之间的关系，再结合课本的例题讲解，让学生感悟分类讨论的必要性和方法，并学会严谨规范的表述．教学中要避免抽象的讨论，更不要将所谓的“规律”让学生死背套用．教科书要求运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，而不必在恒等变形上进行过于烦琐的训练．因此，在教学中应为学生体验数学解决问题中的作用，感受数学与日常生活的其他学科的联系，发展数学应用意识，提高实践能力创造条件．例如设计一些开放性、探究性题材，让学生自行探索解决，或由学生自己寻找应用性、研究性问题（包括实地测量等），并建立斜三角形模型加以解决．

答：《标准》把数列视为反映自然规律的基本数学模型，要求在教学中通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种表示方法，特别指出要体现数列是一种特殊函数，通过列表、图像、通项公式表示数列，把数列融于函数之中．

数列为学生提供了离散函数的数学模型，将等差数列、等比数列与一次函数、指数函数相联系起来，有助于提升学生对函数思想的理解水平．教学中，让学生在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，既突出了问题意识，也有助于对数学本质的认识．

   本章在引入数列的概念之后，安排了“根据数列的通项公式写出它的前5项，并作出它的图像”和“写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是……”两类例题，就是要学生领悟数列中“项a_n”与“项数n”之间对应关系的函数思想，借助它与图像的联系，理解数列的通项公式a_n＝f (n) 就是关于自变量n的函数解析式．在等差数列和等比数列中也分别安排了相应的例题和思考，指出等差数列的通项公式是关于n的一次式，等比数列的通项公式是一个常数与指数式的乘积，并画出了相应的图像．这样，从函数的观点、模型的观点、连续与离散之间关系的角度来认识数列，突出了数列的本质．

答：针对以往数学教学中的“双基异化”倾向，《标准》要求在数列的教学中，应保证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习，掌握数列中各量之间的基本关系，但训练要控制难度和复杂程度．这体现了《标准》在内容处理上的一个原则：删减烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容．因此，数列教学中要改变传统的在纸上演化题型，花样翻新地搞偏题、怪题的做法，注重应用，关注学生对数列的本质的理解，以及运用数列模型解决实际问题的能力．基于上述认识和数学教学应“强调本质，注意适度形式化”的理念，所以教科书不提等差中项和等比中项的概念，只是在习题中作了介绍．实际上，相对于数列的通项公式和前n项和公式而言，等差中项和等比中项并不是数列知识链上的重要一环，学生只要了解就可以了，没必要刻意强调两个数的等差中项（等比中项）的概念及相关训练．教科书在 “2．2．2等差数列的通项公式”中，安排了四个例题（例2—5）从不同侧面揭示等差数列的本质属性.特别是例5说明:“{a_n}是等差数列⇔a_n=(n≥2)”．它反映了等差数列中每一项与它前后两项的密切关系．也就是说，等差数列中从第二项起（有穷数列的最后一项除外），每一项都是它前后两项的“等差中项”．在本模块第3章《不等式》中，还将出现两个正数的“算术平均数”和“几何平均数”的概念，显然，它们与等差中项、等比中项的概念是一样的．

值得指出的是，在等差数列和等比数列的教学中，不要刻意追求解题技巧，不要补充所谓的“性质”让学生死记硬套．应引导学生从定义出发，自主探究通项公式和前n项和公式，经历从特殊到一般、从具体到抽象的类比和归纳过程，关注合情推理，领略“倒序相加”和“错位相减”方法的魅力，感悟化“多”为“少”的转化思想．

答：以往的不等式内容，比较关注不等式的解法．《标准》强调不等式是刻画现实世界中事物在量上的区别的一种工具，是描述刻画优化问题的一种数学模型，而不是从数学到数学的纯理论探讨．新课程淡化了解不等式的技巧性要求，突出了不等式的实际背景及其应用．例如，线性规划问题没安排在解析几何中作为直线方程的应用来处理，而是作为不等式的应用来处理，突出了不等式的几何意义及在解决优化问题中的作用，为学生理解不等式的本质，体会优化思想奠定了基础．与传统教材比较，本章一开始增加了一节“不等关系”．教科书提供了丰富的实际背景，让学生感受在现实世界中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景．通过对实际背景（现实原型）的分析、概括与抽象，建立数学模型，意在突出把学生“经历从实际情境中抽象出不等式模型的过程”放在首位，培养学生的数学建模能力．教学中，还可以让学生根据自己的生活经验，从熟悉的例子出发，挖掘、发现富有时代气息的素材，通过分析其中的基本数量关系（特别是不等关系），建立不等式模型，加深对用不等式刻画现实世界中不等关系的认识．关于简单的线性规划问题的教学，应从实际情境中抽象出二元一次不等式组模型，而不是像以往那样从纯数学的角度提出问题，要强调不等式组的几何意义，使学生能用平面区域表示二元一次不等式组，从而进一步体会到数形结合的思想的实质及其重要性．由于一般的最优整数解的问题比较复杂，在教学中不作要求．

答：数学是人类文化的重要组成部分．数学文化具有十分丰富的内涵，它表现为在数学的起源、发展、完善和应用的过程中体现出的对于人类发展具有重大影响的方面．通过在高中阶段数学文化的学习，学生将初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野，寻求数学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识．根据《标准》中“渗透数学文化，体现人文精神”的要求，教科书通过“链接”、“阅读”、“探究”、“问题与建模”等栏目，以及章首语、章头图、探究习题等形式体现和展示数学文化．如“秦九韶的三斜求积”、“斐波那契数列”、“鹦鹉螺壳花纹”、“雪花曲线”、“教育储蓄的受益与比较”、“线性规划问题的数学模型”等．教学中，应结合相关的教学内容，引导学生在学习数学知识的同时，赏析数学家的故事以及数学发展过程中的趣闻逸事和史料，接受数学文化的熏陶，形成良好的数学情感体验，全面提高数学素养．

 

 

参考文献

[ 1 ] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实验）． 北京：人民教育出版社，2003．

[ 2 ] 数学课程标准研制组．普通高中《数学课程标准(实验) 》解读． 南京：江苏教育出版社，2003．