漫谈集合语言
南京外国语学校 陈光立
同学们进入高中之后，将面对一个崭新的数学世界．数学（必修1）中，我们首先要学习集合及其运算的有关知识．
在本章中，我们把集合作为一种语言来学习，学习用集合语言简洁、准确地表述数学对象和结构，从而为以后的学习作准备，也有利于发展用数学语言进行表达和交流的能力．
其实，我们在小学和初中已经接触了集合，如自然数集、有理数集、实数集等，只是没有明确提出来．在这一章里，我们又定义了一些新的“运算”．运算的对象不再是初中时的数、字母和式子，而是集合．运算的类型，也不再是加、减、乘、除、乘方和开方，而是“交”、“并”、“补”．这是我们从数学内部发展的需要来加以定义的．这不仅开拓了同学们的视野，并为今后学习别的数学运算打下基础．
同学们可以结合生活中的实例来感受和领悟集合的概念及它们之间的运算，并学会用适当的符号语言来表述．例如，自然数集、有理数集、实数集分别用N、Q、R表示，2∈Q清楚地表明了2作为一个有理数和有理数集整体的隶属关系，而N(Q简明地表示了两个数集作为大小类之间的包含关系．需要注意的是，当我们结合生活中的实例来感受和理解集合的概念和运算时，应了解数学语言与生活语言有时存在差异．例如，生活中的“或”常具有排斥、非此即彼的意思，“我或你去参加比赛”意味着只有一个人能去．而数学上的集合并运算规定的A∪B：“在A中或在B中的元素全体”，却不排斥既在A又在B中的情况，同时还包括在A中但不在B中，以及在B中但不在A中的情况．在日常生活中，将两堆东西合并，意味着数量的增加，而在数学中则不同，A∪B（B≠Φ）却可能仍然等于A．
符号化、形式化是数学的显著特点．从某种意义上来说,学习数学就是学习一种有特定含义的形式化语言,以及用这种形式化语言去表达、解释、解决各种问题．我们知道，用描述法表示集合能准确地刻画集合中这类元素的共同特性，如偶数集可用{x|x=2n,n∈Z}描述其“2”的整数倍的特征，有理数集可用{x|x＝, p∈Z，q∈Z，q≠0}来刻画其“分数形式”的特征．当然，对于同一个集合可以有不同的描述方法，如偶数集也可用｛x|x=4n或x=4n+2，n∈Z｝来表示．要理解不同表示形式之间的等价性，尽量用简洁的形式来表示．在集合语言的学习中，我们应学会针对具体问题，恰当地选择用自然语言（文字语言）、图形语言或集合语言去表示相应问题的数学内容，培养数学语义转换能力，从而将一个问题转换为较简单明了的问题，最终使问题得到解决．
当然，本章的学习中，接触到的集合语言，有时抽象难懂．这时我们要常常将其转换、“翻译”成更为熟悉的文字语言或图形语言，理解符号语言所表达的含义，不被符号语言的表面形式搞糊涂．例如，设A=｛x|x=2n,n∈Z｝,B=｛x|x=3n,n∈Z｝，求A∩B．如果翻译为文字语言，其含义就十分明朗了．A表示“2的倍数”全体，B表示“3的倍数”全体，A∩B即“既是2的倍数又是3的倍数的整数”全体，当然就是“6的倍数”全体，所以A∩B=｛x|x=6n,n∈Z｝．又如，C=｛P|PO=2，O为平面上的定点，P为该平面上的动点｝表示平面上到定点O 的距离等于2的动点P的全体，即“以O 为圆心，2为半径的圆”．最后，我们看一个较复杂的问题：
设集合A=｛(x,y)|y=x+1,x∈［0 ,1］｝, B=｛( x, y)|y=－x+a ,x∈R｝，问：a取何值时A∩B=Φ？
解决本题，先要弄明白集合A，B的含义．我们可以在平面直角坐标系中来表示这些集合．A表示平面上满足y=x+1,x∈[0，1]的动点(x，y)的集合，这是一条以M(0，1)，N(1，2)为端点的线段MN；集合B表示直线l：y=－x+a，当a的值改变时，直线作上下平移运动．A∩B=Φ表示动直线l与定线段MN无交点，此时可求得a＜1或a＞3．用区间符号表示，即当a∈(－∞，1)∪(3，+∞)时，A∩B=Φ．
